Простым движением называется такое движение, при котором расстояние, пройденное точкой, из начального состояния является линейной функцией времени.
Простое движение по ломанным это движение по траектории представляющей собой ломанную линию с конечным числом вершин.
Игра преследования с простым движением. Пусть имеется некоторое количество преследователей (будем называть их нарядом) и один убегающий игрок. Если верны следующие утверждения:
То данная игра называется игрой преследования с простым движением.
Игра с линией жизни. Игра с линией жизни получается если в игру с простым движением ввести некую линию и изменить цели участников следующим образом:
Целый ряд таких игр имеет решение, то есть известна оптимальная стратегия и для убегающего и для догоняющего. Оптимальной стратегией называется такая стратегия, отклонение от которой ухудшает положение того, кто её нарушает.
Рассмотрим в качестве примера стратегию параллельного сближения. Пусть имеются два игрока: убегающий и догоняющий. Если скорость убегающего выше, то выбор стратегии тривиален. Если скорости равны, то максимум что может добиться догоняющий это не отстать. Для этого ему достаточно двигаться параллельным курсом. Если скорость догоняющего выше, то есть смысл задуматься о стратегии так как в этом случае от удачного выбора зависит время встречи, которое необходимо минимизировать. Рассмотрим эту ситуацию более детально. Для ответа на поставленный вопрос, нам потребуется так называемая окружность Апполония.
Предположим, что убегающий и догоняющий игрок начинают некоторую игру с заданных точек. Скорость догоняющего больше и следовательно независимо от выбранного направления убегающим их встреча все равно состоится. Если убегающий не изменяет направления движения, то для каждого возможного направления существует точка в которой состоится встреча и время достижения этой точки минимальное из всех возможных. То есть это точка, движение к которой и есть оптимальная стратегия для догоняющего. Будем точку для каждого из возможных направлений движения убегающего называть минимальной. Известно, что множество минимальных точек лежит на окружности называемой окружностью Апполония.
Окружность Апполония достаточно хорошо изученный объект, известно, как вычислить его радиус и много другое. Подробную информацию можно найти в книге: Л.А. Петросян и Б.Б. Ресхиев «Преследование на плоскости» Москва «Наука» 1991 г.
Стратегия параллельно движения предписывает догоняющему в случае смены убегающим направления движения строить окружность Апполония и определять минимальную точку для данного направления убегающего. Минимальная точка получается пересечением прямой по которой движется убегающий с окружностью Апполония.
А сейчас две задачи:
Игра преследования идет в участке плоскости ограниченном углом. Для преследователя и убегающего известны скорости, эти скорости постоянны и известны начальные положения. Построить оптимальную стратегию и определить, произойдет ли встреча при данных условиях. Движение каждого из участников это движение вдоль ломаной, при этом движение на каждом отрезке ломаной это простое движение.
К данной задаче вряд ли применима та же теория, что и к предыдущей, но задача очень интересна. Дана темная комната известной формы. В комнате находится принцесса способная двигаться с определенной максимальной скоростью или меньшей, кроме неё в комнате чудовище также способное двигаться в определенном интервале скоростей. Построить оптимальные стратегии для них обоих или показать, что все стратегии одинаковы.